Question

双曲线C的渐近线方程为x±2y=0,点A(5,0)到双曲线C上动点P的距离的最小值为6.

(1)求双曲线方程;

(2)若过B(1,0)点的直线l交双曲线C上支一点M,下支一点N,且4MB=5BN,求直线l的方程.

Answer 1

解:(1)若双曲线焦点在x轴上，?

∵渐近线方程为y=±x,?

∴双曲线方程设为=1(b＞0).                                     ?

设动点P的坐标为(x,y),?

则|AP|=.?

∵x∈(-∞，-2b］∪［2b,+∞),?

∴①若x=4≤2b,即b≥2,则当x=2b时,|AP|_Min=|2b-5|=.?

解得b=(b=＜2应舍去)，?

此时双曲线方程为-=1.                                ?

②若x=4＞2b,即b＜2，则当x=4时,|AP|_Min=

∴b²=-1，无解.                                                         ?

若双曲线焦点在y轴上，双曲线方程可设为=1(b＞0),?

∴|PA|=.?

∵x∈R,∴x=4时,|PA|_Min=.∴b=1.?

此时双曲线方程为y²-=1.?

综上所述,双曲线方程为-=1或y²-=1.                ?

(2)由(1)知,双曲线方程为y²-=1，设直线l方程为x=ky+1.?

由得(4-k²)y²-2ky-5=0,依题意

-＜0.                                                                           

∴-2＜k＜2.设M(x₁,y₁),y₁＞0,N(x₂,y₂),y₂＜0,?

由韦达定理得y₁+y₂=;                                               ①?

y₁·y₂=-.                                                               ②?

∵4=5,∴-4y₁=5y₂.                                                ③

由③得y₁=-y₂,代入①②得?

-y₂=＞0,                                                              ④?

-y₂²=-,                                                         ⑤?

即ln＜=1+(n≥2).?

∴ln+ln+ln+…+ln＜(1+)+(1+)+…+(1+)=n+++…+.?

综上所证,++…+＜lnn＜n+++…+(n∈N^*且n≥2)成立.       ?

由④⑤消去y₂,解得k=(k=-＜0,舍).?

∴直线l的方程为x=y+1.