Question

已知命题p：y=

1-a

x

在区间（0，+∞）上是减函数，命题q：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4≥0的解集为空集，若p或q是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

要使y=

1-a

x

在区间（0，+∞）上是减函数，则1-a＞0，即a＜1．所以p：a＜1．
不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4≥0的解集为空集，
所以当a=2时，不等式等价为-4≥0，此时不成立，解集为空集，满足条件．
当a≠2时，要使不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4≥0的解集为空集，即不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0恒成立，
所以必有

a-2＜0 △=4(a-2)2+4(a-2)＜0

，即

a＜2 (a-2)(a-1)＜0

，所以

a＜2 1＜a＜2

，所以1＜a＜2．
综上1＜a≤2，即q：1＜a≤2．
若p或q是真命题，则p，q至少有一个是真命题．
当p，q同时为假命题时，有

a≥1 a≤1或a＞2

，解得a=1或a＞2．
所以p，q至少有一个是真命题时有a≠1且a≤2．
所以实数a的取值范围a≤2且a≠1．