Question

已知函数f(x)=sin2x+acosx，x∈[0，

π

3

]
（1）当a=2时，求函数f（x）的最大值、最小值以及相应的x的值；
（2）当a∈R时，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）将a=2代入f（x）解析式，利用同角三角函数间的基本关系变形，利用二次函数的性质求出f（x）的最小值与最大值，以及相应x的值即可；
（2）f（x）解析式利用同角三角函数间的基本关系变形，利用二次函数的性质以及a的正负即可求出f（x）的最小值．

解答：解：（1）当a=2时，f（x）=sin²x+2cosx=-cos²x+2cosx+1=-（cosx-1）²+2，
∵0≤x≤

π

3

，∴

1

2

≤cosx≤1，
则当cosx=

1

2

，即x=

π

3

时，[f（x）]_min=f（

π

3

）=

7

4

；当cosx=1，即x=0时，[f（x）]_max=2；
（2）f（x）=sin²x+acosx=-cos²x+acosx+1=-（cosx-

a

2

）²+1+

a2

4

，
∵

1

2

≤cosx≤1，
∴当a≥0，cosx=-1时，[f（x）]_min=-（1+

a

2

）²+1+

a2

4

=a；当a＜0，cosx=1时，[f（x）]_min=-（1-

a

2

）²+1+

a2

4

=-a．

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．