Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且有S_n=

1

2

n²+

11

2

n，数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9项和为153；
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）设c_n=

3

(2an-11)(2bn-1)

，数列{c_n}的前n项和为T_n，求使不等式T_n＞

k

57

对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

Answer 1

分析：（1）因为数列{a_n}的前n项和为S_n，且有S_n=

1

2

n²+

11

2

n，利用公式a_n=S_n-S_n-1，求出a_n的通项公式；
（2）又因为b_n+2-2b_n+1+b_n=0，所以数列{b_n}为等差数列，根据等差数列的性质，求出b_n的通项公式；
（3）由（1）可知a_n和b_n的通项公式，代入c_n=

3

(2an-11)(2bn-1)

，利用裂项法，求出前n项和T_n，根据不等式T_n＞

k

57

，求出k的值；

解答：解：（1）因为S_n=

1

2

n²+

11

2

n，故
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n+5；当n=11时，a₁=S₁=6；满足上式；
所以a_n=n+5，
（2）又因为b_n+2-2b_n+1+b_n=0，所以数列{b_n}为等差数列；
由S₉=

9(b3+b7)

2

=153，b₃=11，故b₇=23；所以公差d=

23-11

7-3

=3；
所以：b_n=b₃+（n-3）d=3n+2；
（3）由（1）知：C_n=

3

(2an-11)(2bn-1)

=

1

(2n-1)(2n+1)

，
而C_n=

3

(2an-11)(2bn-1)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
所以：T_n=c₁+c₂+c₃+c₄+…+c_n=

1

2

[1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

，
又因为T_n+1-T_n=

n+1

2n+3

-

n

2n+1

=

1

(2n+3)(2n+1)

＞0；
所以{T_n}是单调递增，故（T_n）_min=T₁=

1

3

；
由题意可知

1

3

＞

k

57

；得k＜19，所以k的最大正整数为18；

点评：本题为数列和不等式的综合应用，涉及求数列的通项，数列的求和以及恒成立问题，数列题是高考中常考的题型，属中档题，有一定的难度；