Question

10．直线y=kx+1，当实数k变化时，直线被椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1截得的弦长范围是（　　）

• A． （0，3]
• B． （0，2）∪（2，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$]
• C． （0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$]
• D． （2，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$]

Answer 1

分析 直线y=kx+1恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cosθ，sinθ），利用三角函数即可得到结论．

解答 解：直线y=kx+1恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cosθ，sinθ）
∴|PQ|²=（2cosθ）²+（sinθ-1）²=-3sin²θ-2sinθ+5
∴当sinθ=-$\frac{1}{3}$时，|PQ|²_max=$\frac{16}{3}$
∴|PQ|_max=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，直线被椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1截得的弦长范围是：（0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$]
故选：C．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查三角函数知识，解题的关键是将问题转化为点P与椭圆上任意一点Q的距离的最大值．