Question

设f（x）是定义在R上的函数，对一切x∈R均有f（x）+f（x+2）=0，当x∈（-1，1]时，f（x）=2x+1，则当x∈（3，5]时，f（x）=________．

Answer 1

f（x）=2x-7
分析：由f（x）+f（x+2）=0，可得，f（x）是以4为周期的函数，当x∈（3，5]时，x-4∈（-1，1]，利用x∈（-1，1]时，f（x）=2x+1，可求得答案．
解答：∵定义在R上的函数f（x）对一切x∈R均有f（x）+f（x+2）=0，
∴f（x+2）=-f（x），
∴f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的函数，
∵当x∈（3，5]时，x-4∈（-1，1]，又x∈（-1，1]时，f（x）=2x+1，
∴f（x-4）=2（x-4）+1=2x-7，又f（x-4）=f（x），
∴x∈（3，5]时，f（x）=2x-7．
故答案为：2x-7．
点评：本题考查函数的周期性及函数解析式的求解，求得f（x）是以4为周期的函数是关键，属于基础题．