Question

设F是椭圆C：

x2

a

+

y2

b

=1(a＞0，b＞0)的右焦点，C的一个动点到F的最大距离为d，若C的右准线上存在点P，使得PF=d，则椭圆C的离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由椭圆上点C的一个动点到F的最大距离为d进而求得到a+c=4，根据：“右准线上存在点P，使得|PF|=d”，进而看

a2

c2

-c与4的大小关系，进而求得a和c的不等式关系求得e的范围．

解答：解：由椭圆上点C的一个动点到F的最大距离为d，
结合椭圆特点可得：
∴a+c=4
若右准线上存在点P，使得|PF|=d，
则

a2

c2

-c≤4，
∴

(4-c)2

c2

-c≤4，
解之得：c≥

4

3

则椭圆C的离心率e=

c

a

=

c

4-c

=

1

4 c -1

≥

1

2

．
又0＜e＜1
则椭圆C的离心率的取值范围是 [

1

2

，1)
故答案为 [

1

2

，1)

点评：本题主要考查了椭圆的简单应用．解题的关键是熟练掌握椭圆中长轴、半轴、焦距、准线及离心率的关系．