Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AA₁=2，E为棱CC₁的中点．
（1）求异面直线AE与DD₁所成角的大小（结果用反三角表示）；   （2）求四面体AED₁D的体积．

Answer 1

分析：（1）取AA₁的中点为F，连接EF，根据D₁D∥AA₁则∠FAE为异面直线AE与DD₁所成角，在三角形∠FAE中求出此角的正切值，最后用反三角表示即可；
（2）由题意可知点E到侧面ADD₁A₁的距离为2，然后根据等体积法可知V _A-ED1D=V _E-AD1D，最后利用锥体的体积公式进行求解即可．

解答：解：（1）取AA₁的中点为F，连接EF
∵D₁D∥AA₁
∴∠FAE为异面直线AE与DD₁所成角
AA₁=2，则AF=1，EF=2

2

∴tan∠FAE=2

2

则∠FAE=arctan2

2

（2）S_△AD1D=

1

2

×2×2=2，点E到侧面ADD₁A₁的距离为2
V _A-ED1D=V _E-AD1D=

1

3

×2×2=

4

3

∴四面体AED₁D的体积为

4

3

点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及四面体的体积的度量，同时考查了空间想象能力，转化与化归运用是解决本题的关键，易错求体积时不要忘了乘

1

3

．