题目内容

已知a为实数，函数 $数学公式$ ．
（I）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围；
（II）当 $数学公式$ 时，对任意x₁，x₂∈[-1，0]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立，试求m的取值范围．

解：（I）∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∵函数f（x）的图象上有x轴平行的切线，∴f'（x）=0有实数解∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
因此，实数a的取值范围是 $\text{[math]}$ …（5分）
（II）当 $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ …（6分）
由 $\text{[math]}$
因此，函数f（x）的单调区间为 $\text{[math]}$ ；
单调减区间为 $\text{[math]}$ …（8分）
由此可知 $\text{[math]}$ 上的最大值为 $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ 上的最大值为 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
因此，任意的x₁x₂∈[-1，0]，恒有 $\text{[math]}$
所以m的取值范围是 $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（I）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，则f'（x）=0有实数解，从而可求a的取值范围；
（II）对任意x₁，x₂∈[-1，0]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立，可转化为：对任意x₁，x₂∈[-1，0]，不等式f（x₁）_max-f（x₂）_min≤m恒成立，利用导数可求．
点评：本题的考点是利用导数求函数在闭区间上的最值，主要考查导数的几何意义，考查恒成立问题，关键是将不等式恒成立问题转化为最值去解决．