Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=3•(

3

2

)n-1-1(n∈N*)，数列{b_n}满足bn=

an+1

log 3 2 an+1

(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并说明{a_n}是否为等比数列；
（2）求数列{

1

bn

}的前n项和前T_n；
（3）若-

8

3

bn＞2t-t2对任意的n∈N^*恒成立，求t的最小正整数值．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减可得数列通项，利用等比数列的定义可得结论；
（2）确定数列的通项，利用错位相减法求数列的和；
（3）确定b_n的最小值为b₂=b₃=

9

8

，从而将不等式转化为t的不等式，即可求得结论．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=3×1-1=2；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=(

3

2

)n-1
∴an=

2，n=1 ( 3 2 )n-1，n≥2

∵n=1时，a₁=S₁=3×1-1=2不满足an=(

3

2

)n-1
∴{a_n}不是等比数列；
（2）∵bn=

an+1

log 3 2 an+1

=

( 3 2 )n

n

，
∴

1

bn

=n•(

2

3

)n
∴数列{

1

bn

}的前n项和前T_n=1•

2

3

+2•(

2

3

)2+…+n•(

2

3

)n
∴

2

3

Tn=1•(

2

3

)2+2•(

2

3

)3+…+n•(

2

3

)n+1
两式相减可得

1

3

Tn=

2

3

+(

2

3

)2+(

2

3

)3+…+(

2

3

)n-n•(

2

3

)n+1=2-2•(

2

3

)n-n•(

2

3

)n+1
∴T_n=6-2(n+3)(

2

3

)n
（3）由（2）有b_n+1-b_n=

( 3 2 )n+1

n+1

-

( 3 2 )n

n

=(

3

2

)n•

n-2

2n(n+1)

∴n≤2时，有b_n+1-b_n≤0；n＞2时，b_n+1-b_n＞0
∴b_n的最小值为b₂=b₃=

9

8

∴-

8

3

bn＞2t-t2等价于-

8

3

×

9

8

＞2t-t2
∴t²-2t-3＞0
∴t＞3或t＜-1
∴t的最小正整数值是4．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，考查错位相减法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．