Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+c的图象过点（0，1），且在x=1处的切线方程为y=2x-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在[0，m]上有最小值

19

27

，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=ax³+bx²+c，
∴f′（x）=3ax²+2bx，
∵函数f（x）=ax³+bx²+c的图象过点（0，1），
且在x=1处的切线方程为y=2x-1，
∴

f(0)=c=1 f′(x)=3a+2b=2 a+b+c-2=-1

，
解得a=2，b=-2，c=1，
∴f（x）=2x³-2x²+1．
（2）∵f（x）=2x³-2x²+1，
∴f′（x）=6x²-4x，
令f′（x）=6x²-4x=0，得x₁=0，x₂=

2

3

，
∵f（0）=1，
f（

2

3

）=4×

8

27

-2×

4

9

+1=

19

27

，
∵f（x）在[0，m]上有最小值

19

27

，
∴m≥

2

3

．
∴实数m的取值范围[

2

3

，+∞）．