Question

【题目】已知实数，函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若是函数的极值点，曲线在点，处的切线分别为，且在轴上的截距分别为．若，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）．

【解析】

（1）求导后得；分别在和两种情况下，根据的符号可确定的单调性；

（2）由极值点定义可构造方程求得，得到和；根据导数的几何意义可求得在处的切线方程，进而求得；由可求得的关系，同时确定的取值范围；将化为，令，，利用导数可求得的单调性，进而求得的值域即为的范围.

（1）.

，，.

①当，即时，，在上单调递减；

②当，即时，

当时，；当时，，

在上单调递减，在上单调递增.

综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）是的极值点，，即，

解得：或（舍），此时，.

方程为：，

令，得：；同理可得：.

，，整理得：，，

又，则，解得：，

.

令，则，

设，，

在上单调递增，又，，，

即的取值范围为.