Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣ ）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0， ）到椭圆C的右焦点的距离为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P作互相垂直的两条直线l1 ， l2 ， 且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：圆Q：（x﹣2）2+（y﹣ ）2=2的圆心为（2， ），

代入椭圆方程可得 =1，

由点P（0， ）到椭圆C的右焦点的距离为 ，即有 = ，

解得c=2，即a2﹣b2=4，

解得a=2 ，b=2，

即有椭圆的方程为 =1

（2）解：当直线l1：y= ，代入圆的方程可得x=2± ，

可得M的坐标为（2± ， ），又|AB|=4，

可得△MAB的面积为 ×2×4=4；

设直线y=kx+ ，代入圆Q的方程可得，（1+k2）x2﹣4x+2=0，

可得中点M（ ， ），

|MP|= = ，

设直线AB的方程为y=﹣ x+ ，代入椭圆方程，可得：

（2+k2）x2﹣4 kx﹣4k2=0，

设（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2= ，x1x2= ，

则|AB|=

= ，

可得△MAB的面积为S=

=4 ，

设t=4+k2（5＞t＞4），可得 = = ＜ =1，

可得S＜4，且S＞0，

综上可得，△MAB的面积的取值范围是（0，4]

【解析】（1）求得圆Q的圆心，代入椭圆方程，运用两点的距离公式，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程；（2）讨论两直线的斜率不存在和为0，求得三角形MAB的面积为4；设直线y=kx+ ，代入圆Q的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，求得MP的长，再由直线AB的方程为y=﹣ x+ ，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，化简整理，由换元法，结合函数的单调性，可得面积的范围．