题目内容

已知数列{a_n}的前n项和S_n= $数学公式$ n²+ $数学公式$ n，数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9项和为153．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设c_n= $数学公式$ ，数列{c_n}的前n项和为T_n，若对任意正整数n，T_n∈[a，b]，求b-a的最小值．

解：（1）因为S_n= $\text{[math]}$ n²+ $\text{[math]}$ n，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n+5，
当n=1时a₁=S₁=6，满足上式，所以a_n=n+5，
又因为b_n+2-2b_n+1+b_n=0，所以数列{b_n}为等差数列，
由S₉= $\text{[math]}$ =153，b₃=11，故b₇=23，
所以公差d= $\text{[math]}$ =3，所以b_n=b₃+（n-3）d=3n+2，
（2）由（1）知c_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ），
所以T_n=c₁+c₂+…+c_n
= $\text{[math]}$ [（1- $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）]
= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
又因为T_n+1-T_n= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞0，
所以{T_n}单调递增，故（T_n）_min=T₁= $\text{[math]}$ ，
而T_n= $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ≤T_n＜ $\text{[math]}$ ，
所以对任意正整数n，T_n∈[a，b]时，a的最大值为 $\text{[math]}$ ，b的最小值为 $\text{[math]}$ ，故（b-a）_min= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用已知条件通过a_n=S_n-S_n-1，求数列{a_n}的通项公式，利用b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9项和为153，求出公差，然后求出{b_n}的通项公式；
（2）利用c_n= $\text{[math]}$ ，求出表达式，通过裂项法直接求解数列{c_n}的前n项和为T_n，然后通过数列和的最值求b-a的最小值．
点评：本题考查数列递推式，数列的求和，裂项法的应用，数列天通项公式的求法，考查计算能力．

练习册系列答案

已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，数列{bn}满足bn+2-2bn+1+bn=0（n∈N*），且b3=11，前9项和为153．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）设cn=，数列{cn}的前n项和为Tn，若对任意正整数n，Tn∈[a，b]，求b-a的最小值．

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