Question

已知数列{a_n}满足an=

n，n=2k-1，k∈N* ak，n=2k，k∈N*

，记Sn=a1+a2+a3+…+a2n-1+a2n．
（1）求a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆．；
（2）求S_n与S_n-1的关系式；
（3）求S_n．

Answer 1

分析：（1）根据数列的通项公式可求得数列的奇数项和偶数项的通项公式不同，进而把a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆分成奇数项和偶数，根据通项公式表示出a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=3a₁+2a₃+a₅求得答案．
（2）先把前n项的和分成奇数项和偶数项，其中奇数项成等比数列，根据等比数列的求和公式求得奇数项的和，偶数项的和为S_n-1，进而求得S_n与S_n-1的关系式；
（3）利用（2）中的递推式，利用叠加法，进而根据等比数列的求和公式求得S_n．

解答：解：（1）a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆．=a₁+a₁+a₃+a₂+a₅+a₃=a₁+a₁+2a₃+a₁+a₅=3a₁+2a₃+a₅=14
（2）Sn=a1+a2+a3+…+a2n-1+a2n
=（a₁+a₃+a₅+…+a2n-1）+（a₂+a₄+a₆+…+a2n）
=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+（a₂+a₄+a₆+…+a2n）
=4^n-1+S_n-1
（3）由（2）知S_n=4^n-1+S_n-1（n≥2），即S_n-S_n-1=4^n-1，
∴S_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）+S₁
=4^n-1+4^n-2+…+4+2=

4(1-4n-1)

1-4

+2=

1

3

（4ⁿ+2）

点评：本题主要考查了数列的求和问题．考查了学生综合运用所学知识的能力．