Question

【题目】已知函数（），且是它的极值点．

（1）求的值；

（2）求在上的最大值；

（3）设，证明：对任意， 都有．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）见解析

【解析】试题分析：（1）因为是的一个极值点，所以,解得的值；

（2）由（1）知， ，讨论区间端点与导函数零点的关系明确的单调性，从而求得在上的最大值；

（3）设， ，其中， ，分别研究二者的最值即可.

试题解析：

（1） ，

因为是的一个极值点，所以，

所以．

（2）由（1）知， ，

易知在上递增，在上递减，

当，即时， 在上递增， ；

当，即时， 在上递减， ；

当，即时， ．

（3），设， ，其中， ，

则，设，则，可知在上是增函数，

所以，即在上是增函数，

所以．

又，由，得；由，得，

所以在上递减，在上递增，

所以，从而．

所以，对任意， ， ．