Question

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

 

Answer 1

【答案】

(I)

 (II)当时，，直线过定点与已知矛盾；当时，，直线过定点

【解析】（1）根据椭圆的性质得，所以即可写出椭圆的方程.（2）直线与椭圆联立消去得.设，由判别式大于0得，利用跟与系数的关系得以AB为直径的圆过椭圆的右顶点就是与垂直，即.代入坐标运算可整理得与的关系，保证判别式大于0，且直线不过椭圆的左右顶点，得直线过定点

解：(I)由题意设椭圆的标准方程为

，

 (II)设，由得，

，.

以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，

，，

，，解得

，且满足.当时，，直线过定点与已知矛盾；当时，，直线过定点