Question

已知函数f(x)=lnx-

x-1

x

．
（1）判定函数f（x）的单调性；
（2）设a＞1，证明：

lna

a-1

＜

1

a

．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），根据函数的定义域x大于0得到f′（x）恒小于等于0即可得到函数在定义域内单调递减；
（2）由（1）知函数为减函数，由a大于1得到f（a）小于f（1），分别把f（a）和f（1）求出代入化简即可得证．

解答：解：（1）f′（x）=

1

x

-

x -  1 2 x (x-1)

x

=

2 x -x-1

x x

，x∈（0，+∞）
当2

x

-x-1≤0，即4x≤（x+1）²，即（x-1）²≥0，x∈（0，+∞）时f′（x）≤0恒成立，
所以f（x）在区间上（0，+∞）单调递减；
（2）证明：由（1）得函数是单调减函数，
因为a＞1，所以得到f（a）＜f（1）即lna-

a-1

a

＜0，即lna＜

a-1

a

即

lna

a-1

＜

1

a

．

点评：此题考查学生会利用导函数的正负得到原函数的增减性，会利用函数的增减性化简求值，是一道中档题．