Question

已知函数f(x)=,x∈［1,+∞

(1)当a=时，求函数f(x)的最小值。

(2)若对任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围。

Answer 1

(1) f(x)在区间［1，+∞上的最小值为f(1)= (2) 当x=1时，y_min=3+a,当且仅当y_min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3。

解析:

当a=时，f(x)=x++2

∵f(x)在区间［1，+∞上为增函数，

∴f(x)在区间［1，+∞上的最小值为f(1)=。

(2)解法一: 在区间［1，+∞上，

f(x)= >0恒成立x²+2x+a>0恒成立。

设y=x²+2x+a,x∈［1,+∞

∵y=x²+2x+a=(x+1)²+a－1递增，

∴当x=1时，y_min=3+a,当且仅当y_min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3。

解法二: f(x)=x++2,x∈［1,+∞

当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；

当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)_min=3+a,

当且仅当f(x)_min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3。