Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

Answer 1

分析：（I）根据菱形的性质可得ACAC⊥BD，根据线面垂直的性质可得PA⊥BD，综合线面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC
（II）以O为坐标原点，OB、OC所在直线及过点O且与PA平行的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz，分别求出PB与AC的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案．
（III）分别求出平面PBC与平面PDC的方向向量，根据平面垂直则其法向量也垂直，构造方程，求出参数值，可得PA的长．

解答： 证明：（I）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．
又因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以PA⊥BD，
又∵PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC
所以BD⊥平面PAC． …4分
解：（Ⅱ）设AC∩BD=O．
因为∠BAD=60°，PA=AB=2，所以BO=1，AO=CO=

3

．
如图，以O为坐标原点，OB、OC所在直线及过点O且与PA平行的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz，则
P（0，-

3

，2），A（0，-

3

，0），B（1，0，0），C（0，

3

，0）．
所以

PB

=（1，

3

，-2），

AC

=（0，2

3

，0）．
设PB与AC所成角为θ，则 cosθ=

| PB • AC |

| PB |•| AC |

=

6

2 2 •2 3

₌

6

4

． …8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知

BC

=（-1，

3

，0）．
设P（0，-

3

，t） （t＞0），则

BP

=（-1，-

3

，t）．
设平面PBC的法向量

m

=（x，y，z），则

BP

•

m

=0，

BC

•

m

=0．
所以

-x+ 3 y=0 -x- 3 y+tz=0

令y=

3

，则x=3，z=

6

t

，
所以m=

m

=（3，

3

，

6

t

），．
同理，可求得平面PDC的法向量

n

=（3，-

3

，

6

t

），．
因为平面PBC⊥平面PDC，所以

m

•

n

=0，即-6+

36

t2

=0．解得t=

6

．
所以当平面PBC与平面PDC垂直时，PA=

6

． …12分

点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的性质，直线与平面垂直的判定，其中建立空间坐标系将直线与平面的位置关系问题，转化为向量问题是解答的关键．