Question

已知中心在原点的椭圆C：的一个焦点为，为椭圆C上一点，的面积为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在平行于OM的直线，使得直线与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1)    (2) 直线存在，且所求的直线的方程为或．

【解析】

试题分析：(1)因为椭圆C的一个焦点为，

所以，则椭圆C的方程为，

因为，所以，解得．

故点M的坐标为(1，4)．

因为M(1，4)在椭圆上，所以，得，

解得或（不合题意，舍去），则．

所以椭圆C的方程为．

(2)假设存在符合题意的直线与椭圆C相交于，两点，其方程为（因为直线OM的斜率，

由消去，化简得．

进而得到，．

因为直线与椭圆C相交于A，B两点，

所以，

化简，得，解得．

因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点，

所以，所以．

又，

，

解得．由于，所以符合题意的直线存在，且所求的直线的方程为或．

考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆方程，正确运用韦达定理是关键．