Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为

π

2

，且图象上一个最低点为M(

2π

3

，-2)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈(

π

12

，

π

2

)时，f（x）-m≥1恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若f（x₀）=1，x₀∈[-π，π]，求x₀的值．

Answer 1

分析：（1）依题意可求得A及其周期T=π，利用周期公式即可求得ω，再利用f（

2π

3

）=-2即可求得φ，从而可求f（x）的解析式；
（2）由

π

12

≤x≤

π

2

，利用正弦函数的单调性质可求得-

1

2

≤f（x）≤1，又f（x）≥1+m恒成立，从而可求得实数m的取值范围；
（3）f（x₀）=1，利用正弦函数的性质即可求得x₀的值．

解答：解：（1）设周期为T，则由已知可知T=2×

π

2

=π，
又ω＞0，可知ω=

2π

π

=2，…1分
又易知A=2，故f（x）=2sin（2x+φ），…2分
∵f（

2π

3

）=-2，
∴sin（

4π

3

+φ）=-1，
∴

4π

3

+φ=2kπ+

3

2

π（k∈Z），又0＜φ＜

π

2

，
解得φ=

π

6

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

），…4分
（2）当

π

12

≤x≤

π

2

时，

π

3

≤2x+

π

6

≤

7π

6

…5分
∴-

1

2

≤f（x）≤1…6分
又f（x）≥1+m恒成立，
∴1+m≤-

1

2

，解得m≤-

3

2

…8分
（3）f（x₀）=1，则sin（2x₀+

π

6

）=

1

2

…9分
∴2x₀+

π

6

=2kπ+

π

6

或2x₀+

π

6

=2kπ+

5π

6

（k∈Z）…10分，
∴x₀=kπ或x₀=kπ+

π

3

（k∈Z），
又x₀∈[-π，π]，
所以x₀=-π，-

2π

3

，0，

π

3

，π…12分

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查函数恒成立问题，考查正弦函数的性质，考查属于难题．