Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点(1，

3

2

)，且离心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点G(

1

8

，0)，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知椭圆的离心率e=

c

a

=

1

2

，故椭圆方程为

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，又点(1，

3

2

)在椭圆上，由此能导出椭圆的方程．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

，消去y并整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由直线y=kx+m与椭圆有两个交点，知m²＜4k²+3．又x1+x2=-

8km

3+4k2

，知MN中点P的坐标为(-

4km

3+4k2

，

3m

3+4k2

)，由此能求出k的范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率∴e=

c

a

=

1

2

∴a=2c∴b²=a²-c²=3c²
∴椭圆方程为

x2

4c2

+

y2

3c2

=1又点(1，

3

2

)在椭圆上∴

1

4c2

+

( 3 2 )2

3c2

=1∴c²=1
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1…（4分）
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

消去y并整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0…（6分）
∵直线y=kx+m与椭圆有 两个交点△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，即m²＜4k²+3…（8分）
又x1+x2=-

8km

3+4k2

∴MN中点P的坐标为(-

4km

3+4k2

，

3m

3+4k2

)…（9分）
设MN的垂直平分线l'方程：y=-

1

k

(x-

1

8

)
∵p在l'上∴

3m

3+4k2

=-

1

k

(-

4km

3+4k2

-

1

8

)即4k²+8km+3=0
∴m=-

1

8k

(4k2+3)…（11分）
将上式代入得

(4k2+3)2

64k2

＜4k2+3
∴k2＞

1

20

即k＞

5

10

或k＜-

5

10

，∴k的取值范围为(-∞，-

5

10

)∪(

5

10

，+∞)

点评：本题考查椭圆方程和k的取值范围，解题时要认真审题，仔细解答，注意椭圆的灵活运用，合理地进行等价转化．