Question

（2013•闸北区二模）半径为r的球的内接圆柱的最大侧面积为

2πr²

．

Answer 1

分析：由题意圆柱的底面为球的截面，由球的截面性质可得出圆柱的高为h、底面半径为R与球的半径为r的关系，再用h和R表示出圆柱的侧面积，利用基本不等式求最值即可．

解答：解：如图为轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为R，侧面积为S，
则（

h

2

）²+R²=r²，
即h=2

r2-R2

．
∵S=2πRh=4πR•

r2-R2

=4π

R2(r2-R2)

≤4π

(R2+r2-R2)2 4

=2πr²，
取等号时，内接圆柱底面半径为

2

2

r，高为

2

r．
故答案为：2πr²

点评：本题考查球与圆柱的组合体问题、以及利用基本不等式求最值问题，难度一般．