Question

已知函数f(x)=

1

x

-log2

1+x

1-x

．
（1）试求函数f（x）的定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）已知a是方程f（x）=0的一个实数解，求证：|a|＞

1

2

．

Answer 1

分析：（1）要使函数有意义，必须使得分母不为0，对数的真数大于0即可得函数的定义域，再利用f（-x）=-f（x），判断函数的奇偶性；
（2）易证函数在（0，1）上为减函数，在（-1，0）上也是减函数，又f(

1

2

)＞0，问题可得证．

解答：解：（1）由

x≠0 1+x 1-x ＞0

得，x∈（-1，0）∪（0，1）------------------------（2分）
又f(-x)=

1

-x

-lg

1-x

1+x

=-f(x)∴f（x）为奇函数--------------------------------------------------（6分）
（2）可证f（x）在（0，1）上是减函数，又f（x）为奇函数∴f（x）在（-1，0）上也是减函数----------（10分）∵f(

1

2

)=2-log23＞0，f（x）为奇函数∴a＞

1

2

或a＜-

1

2

即|a|＞

1

2

--------------------------（14分）

点评：本题主要考查函数的性质，考查定义域、单调性、奇偶性，属于基础题．