Question

4．已知f（x）=x²-1，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-1，x＞0}\\{2-x，x＜0}\end{array}\right.$
（1）求g（g（x））和g（f（x））的值；
（2）求f（g（x））和g（f（x））的解析式．

Answer 1

分析 根据复合函数之间的关系直接代入即可得到函数的表达式．

解答 解：（1）当x-1＞0时，g（x）=x-1，g[g（x）]=g（x-1）=x-2；
0＜x＜1时，g（x）=x-1，g[g（x）]=g（x-1）=3-x；
x＜0时，g（x）=2-x，g[g（x）]=g（2-x）=1-x；
∴g（g（x））=$\left\{\begin{array}{l}{1-x，x＜0}\\{3-x，0＜x＜1}\\{x-1，x＞1}\end{array}\right.$；
x²-1＞0时，g（f（x））=x²-2，
x²-1＜0时，g（f（x））=3-x²，
∴g（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2，x＜-1或x＞1}\\{3-{x}^{2}，-1＜x＜1}\end{array}\right.$；
（2）当x＞0时，g（x）=x-1，
∴此时f[g（x）]=f（x-1）=（x-1）²-1=x²-2x，
x＜0时，g（x）=2-x，
∴此时f[g（x）]=f（2-x）=（2-x）²-1=x²-4x+3，
∴f[g（x）]=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x＞0}\\{{x}^{2}-4x+3，x＜0}\end{array}\right.$；
x²-1＞0时，g（f（x））=x²-2，
x²-1＜0时，g（f（x））=3-x²，
∴g（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2，x＜-1或x＞1}\\{3-{x}^{2}，-1＜x＜1}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查函数表达式的求法，利用直接代入法是解决复合函数解析式的常用方法．