Question

已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在 上是增函数．
（1）如果函数在上是减函数，在上是增函数，求的值；
（2）证明：函数（常数）在上是减函数；
（3）设常数，求函数的最小值和最大值．

Answer 1

解. (1) b=4.
(2) 证明略
(3) 当1<c≤3时, 函数f(x)的最大值是f(3)=3+；
当3<c<9时, 函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.

本题考查函数的性质和应用，解题要认真审题，仔细求解
（1）根据题设条件知 =4，由此可知b=4．
（2）根据已知函数定义法，设出变量作差，变形定号，确定结论。
（3）根据∵c∈（1,9）然后得到函数的单调区间进而得到最值
解. (1) 由已知得="4," ∴b=4.
(2)设,∈，且<， ∵－,
由,∈，<得0<<1,1->0，故－>0 ,于是－>0,
即> .∴= 在上是减函数.
(3) ∵c∈[1,9], ∴∈[1,3], 于是,当x=时, 函数f(x)=x+取得最小值2.
而f(1)－f(3)=,所以：
当1≤c≤3时, 函数f(x)的最大值是f(3)=3+；
当3<c≤9时, 函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.