Question

已知函数f（x）=2x³-ax²+6bx在x=1处有极大值7．
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）对f（x）进行求导，根据函数f（x）=2x³-ax²+6bx在x=1处有极大值7，可得f′（-1）=0，f（-1）=7，从而求出a和b，求出f（x）的解析式，再利用导数研究其单调性；
（2）由（1）已知f（x）的单调区间，令f′（x）=0，求出极值点，得到极大值和极小值，可以利用导数研究其最值问题；

解答：解：（1）f′（x）=6x²-2ax+6b，…（1分）

f′(-1)=0 f(-1)=7

   …（2分）⇒

6+2a+6b=0 -2-a-6b=7

⇒

a=3 b=-2

，…（3分）
∴f（x）=2x³-3x²-12x．     …（4分）
又∵f′（x）=6x²-6x-12，由f′（x）＞0得6x²-6x-12＞0解得x＜-1或x＞2（5分）
由f′（x）＜0得6x²-6x-12＜0，解得-1＜x＜2 …（6分）
∴f（x）的单调增区间为（-∞，-1），（2，+∞），…（7分）
f（x）的单调减区间为（-1，2）．  …（8分）
（2）f′（x）=0得x=-1和x=2
则f（x）在[-3，3]的变化情况如下表

x	-3	（-3，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-45	↗	7	↘	-20	↗	-9

由表知f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值分别为7，-45     …（13分）

点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性及其应用，也考查极大值和极小值与最大值和最小值的区别，是一道中档题；