Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设，直线交曲线于两点，是直线上的点，且，当最大时，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），曲线：；（Ⅱ）或．

【解析】试题分析：

（Ⅰ）将直线的参数方程消去参数可得普通方程，利用转化公式可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程．（Ⅱ）根据直线的参数方程中参数t的几何意义求解，并结合三角函数的知识可得当时，最大，此时最大．然后利用参数方程可得点的坐标．

试题解析：

（Ⅰ）由（为参数）消去参数可得，

∴直线的普通方程为．

由可得，

将代入上式可得，

∴曲线的直角坐标方程为．

（Ⅱ）设直线上的三点所对应的参数分别为，

将代入，

整理得，

则，

与异号，

由，得，

当，即时，最大，此时最大，

且，此时，代入可得此时点的坐标为或．