Question

20.如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.

（Ⅰ）求点P到平面ABCD的距离；

（Ⅱ）求面APB与面CPB所成二面角的大小.

Answer 1

20.本小题主要考查棱锥、二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.

　（Ⅰ）解：如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.

连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE.

∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，

∵PA=PD，∴OA=OD，

于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD.由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，

∴∠PEB=120°,∠PEO=60°.

由已知可求得PE=，

∴PO=PE·sin60°=×=,

即点P到平面ABCD的距离为.

（Ⅱ）解法一：

如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.

P（0，0，），B（0，，0），

PB中点G的坐标为（0，，），连结AG.

又知A（1，，0），C（－2，，0）.

由此得到

=（1，－，－），=（0，，－），

=（－2，0，0）.

于是有· =0，· =0，

所以⊥，⊥.，的夹角θ等于所求二面角的平面角，

于是cosθ==－，

所以所求二面角的大小为－arccos.

解法二：如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG∥BC，FG=BC.

∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB，

∴∠AGF是所求二面角的平面角.

∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.

又∵PE=BE，

∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.

在Rt△PEG中,EG=PE·cos60°=,

在Rt△GAE中，AE=AD=1，

于是tanGAE==,

又∠AGF=－∠GAE,

所以所求二面角的大小为－arctan.