Question

已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)过点P(－1，－1)，c为椭圆的半焦距，且c＝b．过点P作两条互相垂直的直线l₁，l₂与椭圆C分别交于另两点M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l₁的斜率为－1，求△PMN的面积；
（3）若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程．

Answer 1

（1）;（2）2;（3）或．  

试题分析：（1）根据题意可得，且，加之的关系，可求得; （2）由于直线的斜率已确定，则可由其与椭圆方程联立方程组，求出点M的坐标，因两直线垂直，故当时，用代替，进而求出点N的坐标，得，再由两点间的距离公式求出： ，即可求出的面积;（3）观察本题条件可用设而不求的方法处理此题，即设出点，两点均在椭圆上得：，观察此两式的结构特征是一致的，则将两式相减得， 由题中条件线段的中点在x轴上，所以，从而可得，此式表明两点横坐标的关系：可能相等;可能互为相反数，分两种情况分类讨论：当时，再利用，可转化为，进一步确定出两点的坐标或，即可求出直线的方程为;同理当，求出直线的方程为．
试题解析：（1）由条件得，且，所以，解得．
所以椭圆方程为：．                         3分
（2）设方程为，
联立,消去得．
因为，解得．5分
当时，用代替，得． 7分
将代入，得．
因为，所以，
所以的面积为．             9分
（3）设，则
两式相减得，
因为线段的中点在x轴上，所以，从而可得．12分
若，则．
因为，所以，得．
又因为，所以解得，所以或．
所以直线的方程为．                       14分
若，则，
因为，所以，得．
又因为，所以解得，
经检验：满足条件，不满足条件．
综上，直线的方程为或．           16分