题目内容
已知函数f(x)=sin2x+3cos2x+2| 3 |
（1）求函数f（x）的最大值及单调递减区间；
（2）若f(α)=
| 8 |
| 5 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
分析：（1）首先对所给的函数式进行整理，用二倍角公式再利用辅角公式，整理成能够进行性质运算的形式，函数的最大值可以通过函数的解析式直接做出，利用正弦函数的减区间整理出函数式的减区间
（2）根据所给的函数值，和所给的角的范围写出2α+
的范围，根据这个角的正弦值得到这个角的余弦值，通过角的变换，把要求的角写成已知角和特殊角的形式，利用两角差的余弦公式得到结果．
（2）根据所给的函数值，和所给的角的范围写出2α+
| π |
| 6 |
解答：解：（1）化简得f(x)=2sin(2x+
)，
当三角函数取到最大值时，函数式取到最大值2
故函数f（x）的最大值为2，
根据正弦函数的单调性可知当2x+
∈[2kπ+
，2kπ+
]，
∴x∈[kπ+
，kπ+
](k∈Z)；
∴单调递减区间为[kπ+
，kπ+
](k∈Z)；
（2）由f(α)=
(
＜α＜
)
可得sin(2α+
)=
，cos(2α+
)=-
，
∵
＜α＜
，
∴
＜2α+
＜
，
∴cos(2α+
)=-
∴cos2α=cos(2α+
-
)=cos(2α+
)cos
+sin(2α+
)sin
=
．
| π |
| 6 |
当三角函数取到最大值时，函数式取到最大值2
故函数f（x）的最大值为2，
根据正弦函数的单调性可知当2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
∴x∈[kπ+
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
∴单调递减区间为[kπ+
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
（2）由f(α)=
| 8 |
| 5 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
可得sin(2α+
| π |
| 6 |
| 4 |
| 5 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| 5 |
∵
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
∴
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
∴cos(2α+
| π |
| 6 |
| 3 |
| 5 |
∴cos2α=cos(2α+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
4-3
| ||
| 10 |
点评：本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的有关性质的运算，注意本题中由函数值求函数值的过程中，角的范围的分析，这是解题的关键．
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