题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
1
2
，且经过点P（1，
3
2
）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M．问点M满足什么条件时，圆M与y轴有两个交点？
（3）设圆M与y轴交于D、E两点，求点D、E距离的最大值．
（1）∵椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
1
2
，且经过点P（1，
3
2
），
∴
a2-b2
a
=
1
2
1
a2
+
9
4b2
=1
，即
3a2-4b2=0
1
a2
+
9
4b2
=1
，解得
a2=4
b2=3
，
∴椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）易求得F（1，0）．设M（x0，y0），则
x20
4
+
y20
3
=1，-2＜x0＜2
圆M的方程为（x-x0）2+（y-y0）2=（1-x0）2+y02，
令x=0，化简得y2-2y0y+2x0-1=0，△=4y02-4（2x0-1）＞0①．
将y02=3（1-
x20
4
）代入①，得3x02+8x0-16＜0，解出-4＜x0＜
4
3
．
∴-2＜x0＜
4
3
．
（3）设D（0，y1），E（0，y2），其中y1＜y2．由（2），得
DE=y2-y1=
4y20
-4(2x0-1)
=
-3
x20
-8x0+16
=
-3(x0+
4
3
) 2+
64
3
，
当x0=-
4
3
时，DE的最大值为
8
3
3
．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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