Question

在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q，且b₂+S₂=12，q=

S2

b2

．
（Ⅰ）求a_n与b_n； 
（Ⅱ）求数列{c_n}满足cn=

1

Sn

，求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，利用b₂+S₂=12，q=

S2

b2

，b₁=1，公比为q，建立方程组求出公差与公比，即可得到数列的通项；
（Ⅱ）先求等差数列的和，再利用裂项法求数列的和．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，则
∵b₂+S₂=12，q=

S2

b2

，b₁=1，公比为q
∴

q+6+d=12 q= 6+d q

∴q=3或q=-4（舍去）
∴d=3
∴a_n=3+3（n-1）=3n，b_n=3^n-1．
（Ⅱ）∵S_n=

n(3+3n)

2

∴cn=

1

Sn

=

2

3

（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=

2

3

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

2

3

(1-

1

n+1

)=

2n

3(n+1)

．

点评：本题考查等差数列、等比数列的通项，考查数列的求和，确定数列的通项，利用裂项法求和是关键．