Question

已知函数，，(为自然对数的底数)．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）函数在区间上恒为正数，求的最小值；
（Ⅲ）若对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得成立，求的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）的单调减区间为，单调增区间为（Ⅱ）（Ⅲ）

试题分析：（Ⅰ）函数f (x)的定义域为，
当时，
由， 由．
故的单调减区间为，单调增区间为．                               ……4分
（Ⅱ）在恒成立等价于：在恒成立，
令则，x∈,
于是在上为减函数，又在x=e处连续,
故在,
从而要使对任意的恒成立．
只要，故的最小值为．                                             ……9分
（Ⅲ）一次函数在上递增，故函数在上的值域是．
当时，为单调递减函数，不合题意；
当时，，
要使在不单调，只要，此时　①
故在上单调递减，在上单调递增．
注意到时，
∴
∴对任意给定的，在区间上总存在两个不同的使得成立，当且仅当满足下列条件，即
令，
当时，函数单调递增；
当时，函数单调递减．
所以，当时有即对任意恒成立．
又由，解得……②
∴　综合①②可知，当时，对任意给定的，在上总存在两个不同的，使成立．                                                            ……14分
点评：导数是研究函数性质的有力工具，研究单调性、极值、最值时不要忘记先求函数的定义域，而不等式恒成立问题，一般转化为函数的最值问题解决，分类讨论时要注意分类标准要不重不漏.