Question

直线L：y=k（x+3）与圆O：x²+y²=4交于A、B两点，则当△AOB的面积最大时，k=

±

14

7

．

Answer 1

分析：由圆的方程找出圆心O坐标和半径r，同时把直线l的方程整理为一般式方程，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线l的距离d，即为圆O中弦AB的弦心距，根据垂径定理得到垂足为弦AB的中点，由圆的半径，弦心距及弦的一半构成的直角三角形，利用勾股定理表示出弦AB的长度，然后利用三角形的面积公式底乘以高除以2，用含有d的式子表示出三角形ABC的面积，并利用基本不等式

ab

≤

a+b

2

求出面积的最大值，以及面积取得最大值时d的值，从而列出关于k的方程，求出方程的解即可得到面积最大时k的值．

解答：解：由圆O：x²+y²=4，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，
把直线l的方程为y=k（x+3），整理为一般式方程得：kx-y+3k=0，
∴圆心O（0，0）到直线AB的距离d=

3|k|

k2+1

，（9分）
弦AB的长度|AB|=2

r2-d2

=2

4 -d2

，
∴S△ABC=

1

2

|AB|d=d

4-d2

=

d2(4-d2)

≤

d2+(4-d2)

2

=2，（11分）
当且仅当d²=2时取等号，S_△ABC取得最大值，最大值为2，
此时

9k2

k2+1

=2，解得k=±

14

7

．
故答案为：±

14

7

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，直线的一般式方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，以及基本不等式的应用，当直线与圆相交时，常常由弦长的一半，弦心距，以及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．