Question

在数列与中，，数列的前项和满足,为与的等比中项，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求数列与的通项公式；

（Ⅲ）设. 证明：.

Answer 1

（Ⅰ）解：由题设有，，解得．由题设又有，，解得．

（Ⅱ）解法一：由题设，，，及，，进一步可得，，，，

猜想，，．

先证，．

当时，，等式成立．当时用数学归纳法证明如下：

（1）当时，，等式成立．

（2）假设时等式成立，即，．

由题设，　　

①的两边分别减去②的两边，整理得，从而

．

这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的成立．

综上所述，等式对任何的都成立

再用数学归纳法证明，．

（1）当时，，等式成立．

（2）假设当时等式成立，即，那么

．

这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的都成立．

解法二：由题设　　

①的两边分别减去②的两边，整理得，．所以

，

，

……

，．

将以上各式左右两端分别相乘，得，

由（Ⅰ）并化简得，．

上式对也成立．

由题设有，所以，

即，．

令，则，即．

由得，．所以，

即，．

解法三：由题设有，，所以

，

，

……

，．

将以上各式左右两端分别相乘，

得，化简得

，．

由（Ⅰ），上式对也成立．所以，．

上式对时也成立．

以下同解法二，可得，．

（Ⅲ）证明：．

当，时，

．

注意到，故

　．

当，时，

当，时，

．

当，时，

．

所以．

从而时，有

总之，当时有，即．