题目内容

关于函数f(x)=4sin(2x+
π
3
)(x∈R)，有下列命题
①由f（x1）=f（x2）=0可得x1-x2必是π的整数倍；
②y=f（x）的表达式可改写成y=4cos(2x-
π
6
)；
③将f（x）的图象向左平移
π
3
个单位，可得g（x）=4sin2x的图象；
④函数f（x）在区间[
π
12
，
7π
12
]上单调递减．
其中正确命题的序号是
②④
②④
．
分析：①函数的周期T=
2π
2
=π，函数值等于0的x之差的最小值为
T
2
，所以x1-x2必是
π
2
的整数倍．
②利用诱导公式进行判断．
③利用函数图象平移判断．
④利用三角函数的图象和性质判断．
解答：解：①因为函数的周期T=
2π
2
=π，函数值等于0的x之差的最小值为
T
2
，所以x1-x2必是
π
2
的整数倍．所以①错误．
②函数f(x)=4sin(2x+
π
3
)=4cos(
π
2
-2x-
π
3
)=4cos(
π
6
-2x)=4cos(2x-
π
6
)，所以②正确．
③将f（x）的图象向左平移
π
3
个单位，得到f(x)=4sin[2(x+
π
3
)+
π
3
]=4sin(2x+π)=-4sin2x，所以③错误．
④当
π
12
≤x≤
7π
12
时，
π
6
≤2x≤
7π
6
，
π
2
≤2x+
π
3
≤
3π
2
，设t=2x+
π
3
，则y=sint在[
π
2
，
3π
2
]上单调递减，所以④正确．
故正确的命题是②④．
故答案为：②④．
点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角诱导公式，和三角函数的性质的综合应用．
练习册系列答案
相关题目
关于函数f(x)=sin(2x-
π
4
)，有下列命题：
①其表达式也可写成f(x)=cos(2x+
π
4
)；
②直线x=-
π
8
是f（x）图象的一条对称轴；
③函数f（x）的图象可以由函数g（x）=sin2x的图象向右平移
π
4
个单位得到；
④存在α∈（0，π），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立，
则其中真命题为
②④
②④
．
关于函数f(x)=2sin(3x-
3
4
π)，有下列命题：
①其最小正周期为
2
3
π；     
②其图象由y=2sin3x向左平移
π
4
个单位而得到；
③其表达式写成f(x)=2cos(3x+
3
4
π)；
④在x∈[
π
12
，
5
12
π]为单调递增函数；
则其中真命题的个数是（　　）
关于函数f(x)=lg
x2+1
|x|
(x≠0)，有下列命题：（1）其图象关于y轴对称；（2）当x＞0时，f（x）是增函数，当x＜0时，f（x）是减函数；（3）f（x）在区间（-1，0）和（1，+∞）上均为增函数；（4）f（x）的最小值是lg2．其中所有正确的结论序号是（　　）
A、（1）（2）（3）
B、（1）（2）（4）
C、（1）（3）（4）
D、（2）（3）（4）
已知定义在[1，+∞）上的函数f(x)=
4-|8x-12|(1≤x≤2)
1
2
f(
x
2
)(x＞2)
，则（　　）
关于函数f(x)=4sin(2x+
π
3
)，x∈R有下列命题：
①由f（x1）=f（x2）=0可知，x1-x2必是π的整数倍；
②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos(2x-
π
6
)；
③y=f（x）在[-
3π
4
，-
π
2
]单调递减；
④若方程f（x）-m=0在x∈[0，
π
2
]恰有一解，则m∈[-2
3
，2
3
)；
⑤函数y=|f（x）+1|的最小正周期是π，
其中正确的命题序号是
 
．

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