Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足Sn=

1

2

-

1

2

an(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=n•a_n，求数列{c_n}的前n项和T_n，并证明Tn＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）已知数列{a_n}的前n项和S_n可以根据公式a_n=S_n-S_n-1求出数列的通项公式，注意要验证n=1的情况；
（2）把a_n代入c_n=n•a_n，再利用错位相减法，求出数列{c_n}的前n项和T_n，然后就很容易证明了；

解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=

1

2

-

1

2

a₁，a₁=

1

3

，
当n≥2时a_n=S_n-S_n-1=（

1

2

-

1

2

a_n）-（

1

2

-

1

2

a_n-1）=

1

2

a_n-1-

1

2

a_n，
即a_n=

1

3

a_n-1，
又a₁=

1

3

≠0，所以数列{a_n}是首项为

1

3

，公比为

1

3

的等比数列，
∴a_n=

1

3

•

1

3n-1

=

1

3n

（n∈N₊）
（2）由（1）可知C_n=n•

1

3n

，
所以T_n=1×

1

3

+2×

1

32

+…+（n-1）•

1

3n-1

+n•

1

3n

，①
3T_n=1×

1

30

+2×

1

3

+3×

1

32

+…+n•

1

3n-1

②，
②-①可得2T_n=1×

1

30

-n•

1

3n

+1×

1

3

+1×

1

32

+…+

1

3n-2

+

1

3n-1

，
2T_n=1-n

1

3n

+

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

=1-

n

3n

+

1

2

-

1

2•3n-1

，
∴T_n=

3

4

-

2n+3

4•3n

＜

3

4

点评：此题主要考查数列与不等式的综合，解题过程中用到了错位相减法，这也是高考常用的方法，是一道中档题，本题计算量有些大，考查学生的细心程度；