Question

11．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，AB=AD，BC=CD．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）求证：四边形EFGH为矩形．

Answer 1

分析 （1）取BD中点O，连结AO、CO，则AO⊥BD，CO⊥BD，从而BD⊥平面AOC，由此能证明AC⊥BD．
（2）由已知得EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AC$，HG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AC$，EH$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}BD$，FG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}BD$，由此根据AC⊥BD，能证明四边形EFGH为矩形．

解答 证明：（1）取BD中点O，连结AO、CO，
∵AB=AD，BC=CD，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，
∵AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC，
∵AC?平面AOC，∴AC⊥BD．
（2）在空间四边形ABCD中，
连结EF、FG、EH、HG，
∵E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AC$，HG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AC$，EH$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}BD$，FG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}BD$，
又∵AC⊥BD，
∴EF$\underset{∥}{=}$HG，EH$\underset{∥}{=}$FG，且EF⊥EH，
∴四边形EFGH为矩形．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查四边形为矩形的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．