Question

如图，△ABC中，∠B=

2π

3

，AC=2，∠A=θ，设△ABC的面积为f（θ）．
（Ⅰ）若θ=

π

12

，求AB的长；
（Ⅱ）求f（θ）的解析式，并求f（θ）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据三角形的内角和定理，由∠A和∠B，求出∠C的度数，然后利用正弦定理，由AC，sinB和sinC的值，即可求出AB的长；
（Ⅱ）根据正弦定理，由AC，sinB和sinC，表示出AB，然后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把表示出的AB代入，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值，以及二倍角的正弦、余弦函数公式和两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据θ的范围，求出2θ+

π

6

的范围，根据正弦函数的单调区间，即可得到f（θ）的单调区间．

解答：解：（Ⅰ）∠C=

π

3

-

π

12

=

π

4

，由正弦定理知：

AB

sinC

=

AC

sinB

∴AB=AC•

sin π 4

sin 2π 3

=

2 6

3

（Ⅱ）由正弦定理知：

AB

sinC

=

AC

sinB

，
∴AB=AC•

sin( π 3 -θ)

sin 2π 3

=

4 3

3

sin(

π

3

-θ)，
∴f(θ)=S△ABC=

1

2

AB•AC•sinA=

4 3

3

sinθsin(

π

3

-θ)，(0＜θ＜

π

3

)
∴f(θ)=

4 3

3

sinθsin(

π

3

-θ)=

4 3

3

sinθ(

3

2

cosθ-

1

2

sinθ)
=2sinθcosθ-

2 3

3

sin2θ=sin2θ-

3

3

(1-cos2θ)
=sin2θ+

3

3

cos2θ-

3

3

=

2 3

3

sin(2θ+

π

6

)-

3

3

，
又0＜θ＜

π

3

，
∴

π

6

＜2θ+

π

6

＜

5π

6

，
由

π

6

＜2θ+

π

6

≤

π

2

得0＜θ≤

π

6

，由

π

2

＜2θ+

π

6

＜

5π

6

得

π

6

＜θ＜

π

3

，
∴f（θ）在区间(0，

π

6

]上是增函数，在区间(

π

6

，

π

3

)上是减函数．

点评：此题考查学生利用运用正弦定理及三角形的面积公式化简求值，熟练掌握三角函数的恒等变换，掌握正弦函数的单调区间，是一道中档题．