Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且对任意正整数n，点（a_n+1，S_n）在直线2x+y-2=0上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由．
（Ⅲ）已知数列{b_n}，，b_n的前n项和为T_n，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意可得：2a_n+1 +S_n-2=0，n≥2时，2a_n-1+s_n-1-2=0，相减化简得=（n≥2），可得
{a_n}是首项为1，公比为的等比数列，由此求出通项公式．
（Ⅱ）利用等比数列求和公式求出 S_n ，分析可得欲使 {}成等差数列，只须λ-2=0，由此得出结论．
（Ⅲ）化简  等于 （ -），由此求得T_n =-．再由 y=，在[1，+∞）上为增函数，可得 ≤＜1，从而得 ≤-＜1-，由此证得结论成立．
解答：解：（Ⅰ）由题意可得：2a_n+1 +S_n-2=0，①
n≥2时，2a_n-1+s_n-1-2=0．     ②
①─②得 2a_n+1 -a_n =0，故=（n≥2）．
再由a₁=1，可得a₂=．
∴{a_n}是首项为1，公比为的等比数列，
∴a_n=．  …（4分）
（Ⅱ）∵S_n ==2-，
∴=2-+λn+=2+λn+（ λ-2）． 
欲使 {}成等差数列，只须λ-2=0，即λ=2便可．
故存在实数λ=2，使得数列{}成等差数列．…（9分）
（Ⅲ）∵==（ -）．
∴T_n == 
=（）+（）+（）+…+（）
==-．
又函数 y==在[1，+∞）上为增函数，可得 ≤＜1，
∴≤-＜1-，即≤＜，即． …（14分）
点评：本题主要考查等差关系的确定，等比数列的通项公式，用裂项法进行数列求和，数列与不等式的综合应用，属于难题．