Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n．数列{b_n}中，b₁=1，bn=abn-1（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若存在常数t使数列{b_n+t}是等比数列，求数列{b_n}的通项公式；
（3）求证：①b_n+1＞2b_n；②

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

＜2-

1

bn

．

Answer 1

分析：（1）当n≥2时，根据a_n=S_n-S_n-1求得数列{a_n}的通项公式；n=1时，a₁=S₁，进而可得答案．
（2）根据（1）中求得的{a_n}的通项公式，代入bn=abn-1后等号两边同时加1，整理可得b_n+1=2（b_n-1+1），同时判断n=1时，也成立，进而可知{b_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，进而可判定t的值和数列{b_n+1}的通项公式，最后可得数列{b_n}的通项公式．
（3）把（1）中的b_n，代入b_n+1-2b_n整理后可知b_n+1-2b_n=1＞0，进而可判定b_n+1＞2b_n；设S=

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

++

1

bn

，根据b_n+1＞2b_n则可判定S＜

1

b1

+

1

2

(S-

1

2bn

)，整理即可使原式得证．

解答：解：（1）n=1时，a₁=S₁=3，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-（n-1）²-2（n-1）=2n+1，
且n=1时也适合此式，故数列{a_n}的通项公式是a_n=2n+1；
（2）依题意，n≥2时，bn=abn-1=2bn-1+1，
∴b_n+1=2（b_n-1+1），又b₁+1=2，
∴{b_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
即存在常数t=2使数列{b_n+t}是等比数列b_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，即b_n=2ⁿ-1．
（3）①b_n+1-2b_n=（2ⁿ⁺¹-1）-2（2ⁿ-1）=1＞0所以b_n+1＞2b_n对一切自然数n都成立．
②由b_n+1＞2b_n得

1

bn+1

＜

1

2bn

，设S=

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

++

1

bn

，
则S＜

1

b1

+

1

2b1

+

1

2b2

+…+

1

2bn-1

=

1

b1

+

1

2

(S-

1

2bn

)，所以S＜

2

b1

-

1

bn

=2-

1

bn

．

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式．属基础题．