Question

0＜a≤

1

5

是函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数的（　　）条件．

A．充分不必要

B．必要不充分

C．充要

D．既不充分也不必要

Answer 1

分析：对a进行讨论，当a=0时，函数为一次函数，当a≠0时，函数为二次函数，此时分两种情况，当a＞0时，函数开口向上，先减后增，当a＜0时，函数开口向下，先增后减，求出函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上的减函数的充要条件再进行判断即可．

解答：解：（1）当a=0时，函数为一次函数f（x）=-2x+2为递减函数，
（2）当a＞0时，二次函数开口向上，先减后增，故函数对称轴为x=

1-a

a

≥4，解得0＜a≤

1

5

；
当a＜0时，函数开口向下，先增后减，
函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上不可能为减函数，故舍去．
故函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上的减函数的充要条件为0≤a≤

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5

由0＜a≤

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能推出0≤a≤

1

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，但由0＜a≤

1

5

不能推出0≤a≤

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，
故0＜a≤

1

5

是函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数的充分不必要条件．
故选A．

点评：本题考查二次函数的性质、函数单调性和对称轴、充要条件的判断，属于基础题．