Question

设二次函数，对任意实数，有恒成立；数列满足.
（1）求函数的解析式和值域；
（2）试写出一个区间，使得当时，数列在这个区间上是递增数列，并说明理由；
（3）已知，是否存在非零整数，使得对任意，都有
 恒成立，若存在，
求之；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（1）由恒成立等价于恒成立，…1分
从而得：，化简得，从而得，
所以，………3分
其值域为.…………………4分
（2）解：当时，数列在这个区间上是递增数列，证明如下：
设，则，
所以对一切，均有；………………7分


从而得，即，所以数列在区间上是递增数列…10分
注：本题的区间也可以是、、等无穷多个.
另解：若数列在某个区间上是递增数列，则
即…7分
又当时，，
∴对一切，均有且，
∴数列在区间上是递增数列.…………………………10分
（3）（文科）由（2）知，从而；
，
即； ………12分
令，则有且；
从而有，可得，
∴数列是以为首项，公比为的等比数列，………14分
从而得，即，
∴ ，
∴，∴， …16分
∴，
.   ………………………18分
（3）（理科）由（2）知，从而；
，
即；………12分
令，则有且；
从而有，可得，所以数列是为首项，公比为的等比数列，…………………14分
从而得，即，
所以 ，
所以，所以，
所以，
.………………………16分
即，所以，恒成立
（1）当n为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为。
（2）当n为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值为。
所以，对任意，有。又非零整数，…………18分

略