Question

已知双曲线=1(m＞0,n＞0)的顶点为A₁、A₂，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q.

(1)求直线A₁P与A₂Q交点M的轨迹方程；

(2)当m≠n时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.

Answer 1

(1) =1,  M的轨迹方程是 (2) (ⅰ)当m＞n时，焦点坐标为(±,0)，准线方程为x=±,离心率e=；

(ⅱ)当m＜n时，焦点坐标为(0,±),准线方程为y=±,离心率e=.

解析:

(1)设P点的坐标为(x₁,y₁)，则Q点坐标为(x₁,－y₁),又有A₁(－m,0),A₂(m,0),则A₁P的方程为: y=                   ①

A₂Q的方程为: y=－                                ②

①×②得: y²=－                                 ③

又因点P在双曲线上，故

代入③并整理得=1,  此即为M的轨迹方程.

(2)当m≠n时，M的轨迹方程是椭圆.

(ⅰ)当m＞n时，焦点坐标为(±,0)，准线方程为x=±,离心率e=；

(ⅱ)当m＜n时，焦点坐标为(0,±),准线方程为y=±,离心率e=.