Question

【题目】已知函数.

（1）当，求函数的单调区间；

（2）若函数在上是减函数，求的最小值；

（3）证明：当时，.

Answer 1

【答案】（1）单调递减区间是，，单调递增区间是（2）的最小值为（3）见解析

【解析】分析：（1）代入，根据导函数的符号判断函数的单调区间。

（2）由单调递减区间，得到恒成立。进而确定只需当时，即可，对导函数配方，利用二次函数性质求得最大值，进而得出的最小值。

（3）函数变形，构造函数，求导函数。构造函数，则，根据导函数的单调性求其最值，即可证明不等式。

详解：函数的定义域为，

详解：函数的定义域为，

（1）函数，

当且时，；当时，，

所以函数的单调递减区间是，，单调递增区间是.

（2）因在上为减函数，故在上恒成立.

所以当时，.

又 ，

故当，即时，.

所以，于是，故的最小值为.

（3）问题等价于.

令，则，

当时，取最小值.

设，则，知在上单调递增，在上单调递减.

∴，

∵ ，

∴，∴，

故当时，.