Question

2．高考数学试题中共有12道选择题每道选择题都有4个选项，其中有且仅有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分”，某考生每道题都给出了一个答案，已确定有8道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜，试求出该考生：
（Ⅰ）选择题没得60分的概率；
（Ⅱ）选择题所得分数ξ的数学期望．（ 保留三位有效数字）

Answer 1

分析 （1）运用对立事件：得分为60分，12道题必须全做对，结合题意得出其余的四道题中，有两道题答对的概率为$\frac{1}{2}$，有一道题答对的概率为$\frac{1}{3}$，还有一道答对的概率为$\frac{1}{4}$，根据独立事件同时发生求解即可．
（2）确定随机变量得出该考生得分的范围为{40，45，50，55，60}．根据事件发生的情况分类得出相应的概率，即可得出分布列，数学期望．

解答 解：（Ⅰ）得分为60分，12道题必须全做对．
在其余的四道题中，有两道题答对的概率为$\frac{1}{2}$，有一道题答对的概率为$\frac{1}{3}$，还有一道答对的概率为$\frac{1}{4}$，
所以得分为60分的概率为：$\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{1}{3}•\frac{1}{4}=\frac{1}{48}$．
所以没得60分的概率；$P=1-\frac{1}{48}=\frac{47}{48}$
（2）依题意，该考生得分的范围为{40，45，50，55，60}．
得分为40分，表示只做对了8道题，其余各题都做错，所以概率为：${P_1}=\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{2}{3}•\frac{3}{4}=\frac{1}{8}$；
同样可以求得得分为45分的概率为：${P_2}=C_2^1•\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{2}{3}•\frac{3}{4}+\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{1}{3}•\frac{3}{4}+\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{2}{3}•\frac{1}{4}=\frac{17}{48}$；
得分为50分的概率为：${P_3}=\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{2}{3}•\frac{3}{4}+{\cal C}_2^1\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{1}{3}•\frac{3}{4}+{\cal C}_2^1\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{2}{3}•\frac{1}{4}+\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{1}{3}•\frac{1}{4}=\frac{17}{48}$；
得分为55分的概率为：${P_4}=\frac{7}{48}$；
得分为60分的概率为：${P_5}=\frac{1}{48}$．
所以ξ的分布列为：

ξ	40	45	50	55	60
P	$\frac{6}{48}$	$\frac{17}{48}$	$\frac{17}{48}$	$\frac{7}{48}$	$\frac{1}{48}$

∴$Eξ=40×\frac{6}{48}+45×\frac{17}{48}+50×\frac{17}{48}+55×\frac{7}{48}+60×\frac{1}{48}=\frac{575}{12}．≈47.9$（分）

点评 本题考察了概率分布在实际问题中的应用，属于中档题，关键把分数的情况转化为题目正确的情况求解．