Question

已知正项数列{a_n}的首项a₁=m，其中0＜m＜1，函数．
（1）若数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）（n≥1且n∈N），证明是等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}满足a_n+1≤f（a_n）（n≥1且n∈N），数列{b_n}满足b_n=，试证明b₁+b₂+…+b_n＜．

Answer 1

【答案】分析：本题考查数列与函数的关系、等差数列的证明、求数列的通项公式、求数列的前n项和、裂项法求和等数列知识和方法，
（1）根据所给函数及a_n+1=f（a_n）可得数列的递推关系，由此获得，数列是等差
数列得证，并由的通项公式进而得到数列{a_n}的通项公式；
（2）根据{a_n}满足a_n+1≤f（a_n）可得，由此推得，然后由即得，由此问题得证．
解答：解：（1）∵f（x）=
∴
∴
∴是公差为2的等差数列
又
∴
∴
（2）由（1）知0＜a_n+1≤
∴
∴，…，，
则
而a₁=m，则
∵0＜m＜1，∴
∴，i=1，2，3，…，n
∴，i=1，2，3，…，n
∴（）
=；
∴b₁+b₂+…+b_n＜．
点评：本题综合性较强，涉及了函数与数列的关系、等差数列的证明、通项公式、求和公式等，注意解题思路分析，避免因为题意不清走了弯路，这点对于该题特别重要；
注意（2）中所使用的累加法，通过，…，的累加，获得结果，从而是问题得以解决；
在证明b₁+b₂+…+b_n＜时，仍然使用了数列求和中常用的“裂项法”，使其和最终化为而得到解决．