Question

在数列{a_n}和{b_n}中，a₁=1，b₁=2，且a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄和b₂，b₃，b₄；
（2）猜想{a_n}，{b_n}的通项公式，并证明你的结论；
（3）求证：（n∈N^*）．

Answer 1

解：（1）令n=1可得2b₁=a₁+a₂，a₂²=b₁b₂，代入条件得：
，解得a₂=3，，
同理得a₃=6，b₃=8，a₄=10，．（4分）
（2）猜想：，．
用数学归纳法证明：
（ⅰ）当n=1时，结论显然成立
（ⅱ）假设n=k时结论成立，即，
当n=k+1时，a_k+1=2b_k-a_k==b_k+1=
所以当n=k+1时，结论也成立
综合（ⅰ）（ⅱ）对任意n∈N^*，，b_n=都成立．（8分）
（3）欲证
即证
下面用数学归纳法证明：
（ⅰ）当n=1时，左=，右=，不等式显然成立
（ⅱ）假设n=k时结论成立，即
当n=k+1时
而=
所以
即
则n=k+1时不等式也成立．
综合（ⅰ）（ⅱ）对任意n∈N^*，都有
亦即．（12分）
分析：（1）令n=1可得2b₁=a₁+a₂，a₂²=b₁b₂，代入条件求出a₂，b₂，同理令n=2，3即可求得a₃，a₄和b₂，b₃，b₄
（2）由（1）猜想：，．再利用数学归纳法证明即得；
（3）通过分析法先分析，欲证即证，下面用数学归纳法证明．
点评：本小题主要考查数列的函数特性、数列与不等式的综合、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．利用数学归纳法证明数学命题或不等式时，要注意由归纳假设n=k成立推到n=k+1是数学归纳法的关键．